Cálculo Diferencial : Limite de una función:

Límite:

El límite de una función es el resultado que se tiene al evaluar la función en valores cercanos a un punto, o incluido el punto; y que tengan como resultado acercarse a otro punto, es decir un limite es la tendencia a acercarse a un punto mientras la función es evaluada en valores cercanos a los de la variable; de esta manera un limite por ejemplo es así:

$\LARGE {\color{Red} \lim_{x\to a}f(x)= L}$

Donde f(x) esta cercano a L, tal cercano como se quiere; mientras que x este cada ves mas cercano a a, pero que no sea igual a este.

Definición formal de límite:

Usando términos Lógico-Matemáticos sea f(x) una función definida en todos los reales cercanos a a, excepto el mismo a, se dice que:

$\LARGE {\color{Red}\\Lim_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0: x \in Df \Lambda 0 <\left|x-a \right |<\delta \Rightarrow \left | f(x)-L \right | < \varepsilon }$

Habrían 3 posibilidades de resultado para $\large {\color{Red}\\Lim_{x\to a}f(x)=L }$ :

1. Un numero real: $\large {\color{Red}\L \in \mathbb{R} }$
2. Un valor infinito: $\large {\color{Red}\L = \pm \infty }$
3. El límite no existe: $\large {\color{Red}\nexists L }$

Si el limite de una función existe, siempre es el mismo, es decir:

$\large {\color{Red}\lim_{x\to a}f(x)=L}\ \ {\color{red}y}\ \ {\color{red}\lim_{x\to a}f(x)=M}\ {\color{Red}entonces}\ \ {\color{Red}\Rightarrow L=M}$

Teorema:

Sean a y k dos números reales, entonces:

$\large {\color{Red}\lim_{x\to a}f(K)=K}\ \ {\color{red}\Lambda }\ \ {\color{red}\lim_{x\to a}f(x)=a}$

Ejemplos:

a. $\lim_{x\to 2}f(5)=5$ b. $\lim_{x\to -1}f(x)=-1$

Propiedades de los límites.

Se usan las siguientes propiedades para calcular límites;

Suponiendo que c es una constante y que los siguientes límites existen: $\lim_{x\to a}f(x)=L \ \ y \ \ lim_{x\to a}g(x)=M$

Límite de una suma:

$\lim_{x\to a}f(x)+ g(x)= \ \ lim_{x\to a}f(x)+lim_{x\to a}g(x)= L + M$

2. Límite de un múltiplo por una constante:

$\lim_{x\to a}c*g(x)= \ \ c*lim_{x\to a}g(x)= c* M$

3. Límite de un producto:

$\lim_{x\to a}f(x)* g(x)= \ \ lim_{x\to a}f(x)*lim_{x\to a}g(x)= L * M$

4. Límite de un cociente:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \ \ \frac{lim_{x\to a}f(x)}{lim_{x\to a}g(x)}= \frac{L}{M}\ \ si\ \ M \ \neq 0$

5. Límite de una potencia:

$\lim_{x\to a}\left ( f(x) \right )^{n} = \ \ lim_{x\to a}f(x)^{n}= L^{n}$

6. Límite de una raíz:

$\lim_{x\to a}\ \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{lim_{x\to a}f(x)}= \sqrt[n]{L}$

Límites por sustitución directa:

Si f es una función y a está en el dominio de f, entonces:

${\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}$

Los límites en los que se cumple esta propiedad se llaman continuos en a.

Ejemplo:

a. ${\lim_{x\to 2}f(x)=\sqrt[2]{X^2+3x-1}}$

Solución; como 2 esta en el dominio de la función entonces,

${\lim_{x\to 2}f(x)=\sqrt[2]{X^2+3x-1}} = \sqrt[2]{2^2+3(2)-1}= \sqrt[2]{9}=3$

b. $\lim_{x\to 0}f(x)= \frac{e^x-\tan x}{\cos^2 x}$

Solución; como 0 esta en el dominio de la función entonces,

$\lim_{x\to 0}f(x)= \frac{e^x-\tan x}{\cos^2 x}=\frac{e^0-\tan 0}{\cos^2 0}=\frac{1-0}{1^2}=1$

Indeterminaciones.

Hay límites en los que encontramos expresiones como:

$\frac{\infty}{\infty}\ , \frac{0}{0}\ , \infty-\infty$

Por ejemplo 0/0 es una indeterminación y puede terminar dando cualquier cosa:

a. $lim_{x\to 0}f(x)=\frac{x^2}{x}=\frac{0}{0}\Rightarrow simplificando \lim_{x\to 0}f(x)=0$

b. $lim_{x\to 0}f(x)=\frac{x}{x}=\frac{0}{0}\Rightarrow simplificando \lim_{x\to 0}f(x)=1$

c. $lim_{x\to 0}f(x)=\frac{x}{x^2}=\frac{0}{0}\Rightarrow simplificando \lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{x}=\infty$

Ejemplo:

a. $lim_{x\to 0}f(x)=\frac{(3+x)^3-27}{x}$

Solución: el límite tiene forma 0/0, entonces:

$lim_{x\to 0}f(x)=\frac{(3+x)^3-27}{x}= lim_{x\to 0} \frac{27+27x+9x^2+x^3-27}{x}$

$= lim_{x\to 0} \frac{27x+9x^2+x^3}{x}$

$= lim_{x\to 0} 27+9x+x^2$

$= lim_{x\to 0} 27+9(0)+(0)^2 =27$

Limites Laterales:

En algunos casos el valor de la función puede acercarse a diferentes valores cuando x se aproxima a un punto desde los lados opuestos, es decir que los valores menores a los que tiende x, se acercan a un punto, entonces este se conoce como límite por izquierda, y en caso de que los valores mayores a x se acerquen a dicho valor, se conoce como límite por derecha.

Al resolver un límite por este método, el límite existe si y solo si: