Derivadas.

Derivadas:

¿qué es y para qué sirve una derivada?

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones.

Definición de una derivada:

Es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, pero esto  no se puede conocer directamente, pues solo se tendría un punto de la recta (x,(f(x)); lo que se hace es tomar lineas secantes con un valor aproximado al punto y se calcula el limite de estas lineas secantes, dando por resultado la derivada de la función.

Para encontrar estas pendientes de rectas secantes; se debe da un valor h muy pequeño y que represente un cambio en x también muy pequeño, entonces se conocen dos puntos (x,f(x)) y (x+h,(f(x+h)); la derivada entonces es el coeficiente diferencial, conforme las lineas secantes se aproximan a la recta tangente:

Reglas se las derivadas:

• Derivada de una constante:

la derivada de una constante es 0.

• Derivada de una variable:

Se puede tomar como la derivada de una potencia:

La derivada de una variable es 1.

• Derivada de una potencia:

La derivada de una potencia, es bajar el exponente y restarle 1 al exponente.

• Derivada de una raíz:

La derivada de una raíz se puede calcular en forma de la derivada de una potencia:

• Derivada de una suma:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas.

• Derivada de un producto:

• Derivada de un cociente:

• Derivada de un logaritmo:

• Derivada de una función exponencial:

Derivada de funciones trigonométricas:

• Derivada del seno

• Derivada del coseno

• Derivada de la tangente

• Derivada de la cotangente

• Derivada de la secante

• Derivada de la cosecante

• Derivada del arcoseno:

• Derivada del arcocoseno

• Derivada del arcotangente

• Derivada del arcocotangente

• Derivada del arcosecante

• Derivada del arcocosecante

Regla de la cadena:

Esta regla se aplica para la composición de funciones, pues las reglas de derivación anteriores solo permiten derivar funciones simples, pero al componer una función es necesario aplicar la regla de la cadena; la derivada de la función compuesta f°g es el producto de las derivadas de f y de g.

Ejemplo;

• Derivar la función:

Se puede ver entonces que F es una función compuesta;

 

es decir     , de esta forma se pueden aplicar las reglas de derivación y derivar cada una de las partes.

Entonces la regla de la cadena es:

La derivada de la función

•   es:

Sabiendo que:   

    y   




Al aplicar la regla de la cadena se trabaja de la parte exterior de la función hacía adentro.