Funciones

Definición de función

Relación entre un conjunto dado X (dominio) y otro conjunto de elementos Y ( codominio) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido o rango).

Tipos de funciones

Función constante
 
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.Ejemplo:f(x) = 2x − 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

Función polinómica

Una función f es una función polinómica si, f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0donde a0, a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.Ejemplo:f(x) = x^2 − 2x − 3

Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:para los polinomios f(x) y g(x).

Función de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.Las funciones f(x) = x^4/3 y h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

Dominio y recorrido de una función

El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

 El recorrido (rango) de una función es el conjunto formado por las imágenes, es decir, los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que se le da a "x".

Cálculo del dominio y recorrido

Polinómicas: 

El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como Dom f(x)= ℜ. El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞) Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones polinómicas de grado superior. 

Ejemplo:
Dom f(x)=ℜ
Rec f(x)=ℜ

 

Racionales:

El dominio de una función racional son todos los valores de x, excepto aquellos que anulan el denominador.
Se expresa así: Dom f(x) = ℜ - { valores que anulan el denominador}

Para calcular el dominio, se iguala el denominador a cero y se recuelve la ecuación resultante. Si la ecuación se anula para algún valor, el dominio de la función son todos los números reales menos esos valores. Si la ecuación no tiene solución el dominio son todos los números reales.

Ejemplo:
Como x=0 Dom f(x)=ℜ - {0}
Rec f(x)=

Irracionales

El dominio depende del índice de la raiz.

Índice impar: Don f(x) = ℜ
Índice par: √P(x) ⇒ P(x) ≥ 0 ⇒ radicando ≥ 0 

Ejemplo:f(x)=
Dom f(x)=
resolviendo la desigualdad (x+1)(x-1)0
Dom f(x)=
Rec f(x)=

Logarítmicas

El valor del logaritmo debe ser > 0.
No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.
Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 se usa > 0

Ejemplo: f(x)=L(x+2)
Dom f(x)= x+2>0Dom f(x)=
Rec f(x)=ℜ



Ejercicios resueltos:

Composición de funciones

La composición consiste en sustituir una de las funciones dentro de otra, osea esta compuesta de otra función.
Para denotar las composiciones se pone el símbolo "o".
Ejemplo: (foh)(x) <--- esto significa que la función de f(x) esta compuesta por h(x). Para hacer las composiciones se sustituye de derecha a izquierda, se hacen las operaciones indicadas y se simplifica para obtener los resultados.

Ejemplos: f(x)= 3x-2 , g(x)= x2+3x , h(x)=√(x+2) , k(x)= 3/x-1

1.- (fog)(x)= 3(x2+3x)-2
=3x2+9x-2
R=3x2+9x-2

2.- (gof)(x)= (3x-2)2 + 3(3x-2)
= 9x2-12x +4 + 9x -6 (se simplifica en términos iguales)
=9x2 -3x -2
R=9x2 -3x -2

3.- (hok)(x)= √(3/(x-1 )-2
R= √(3/(x-1 )-2 (ya no se puede simplificar mas, éste es el resultado)

Transformaciones en el plano 

Movimientos verticales y horizontales

Sea c>0

1. f(x)+c, se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia arriba

2. f(x)-c, se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia abajo

3. f(x+c), se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia la izquierda

4. f(x+c),se desplaza la gráfica de f(x)una distacia de c unidades haciala derecha

Ejemplo:

Ejercicios resueltos
1) y = f(x) - 3y = f(x) - 3 = 4 - x2 - 3 = 1 - x2

La función resultante traslada verticalmente hacia abajo a la función f(x) = 4 - x2 tres unidades:

 4) y = f(x + 2)

y = f(x + 2) = 4 - (x + 2)2 = 4 - (x2 + 4x + 4) = - 4x - x2

La función resultante traslada horizontalmente hacia la izquierda a la función f(x) = 4 - x2 dos unidades:

 Reflexiones 

1.-f(x), refleje la gráfica de f(x) respecto al eje x
2. f(-x), refleje la gráfica de f(x) respecjo al ej y

Ejemplo:

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