Derivadas.

Derivadas:

¿qué es y para qué sirve una derivada?

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar los óptimos por ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones.

Definición de una derivada:

Es la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva, pero esto  no se puede conocer directamente, pues solo se tendría un punto de la recta (x,(f(x)); lo que se hace es tomar lineas secantes con un valor aproximado al punto y se calcula el limite de estas lineas secantes, dando por resultado la derivada de la función.

Para encontrar estas pendientes de rectas secantes; se debe da un valor h muy pequeño y que represente un cambio en x también muy pequeño, entonces se conocen dos puntos (x,f(x)) y (x+h,(f(x+h)); la derivada entonces es el coeficiente diferencial, conforme las lineas secantes se aproximan a la recta tangente:

Reglas se las derivadas:

• Derivada de una constante:

la derivada de una constante es 0.

• Derivada de una variable:

Se puede tomar como la derivada de una potencia:

La derivada de una variable es 1.

• Derivada de una potencia:

La derivada de una potencia, es bajar el exponente y restarle 1 al exponente.

• Derivada de una raíz:

La derivada de una raíz se puede calcular en forma de la derivada de una potencia:

• Derivada de una suma:

La derivada de una suma es la suma de las derivadas.

• Derivada de un producto:

• Derivada de un cociente:

• Derivada de un logaritmo:

• Derivada de una función exponencial:

Derivada de funciones trigonométricas:

• Derivada del seno

• Derivada del coseno

• Derivada de la tangente

• Derivada de la cotangente

• Derivada de la secante

• Derivada de la cosecante

• Derivada del arcoseno:

• Derivada del arcocoseno

• Derivada del arcotangente

• Derivada del arcocotangente

• Derivada del arcosecante

• Derivada del arcocosecante

Regla de la cadena:

Esta regla se aplica para la composición de funciones, pues las reglas de derivación anteriores solo permiten derivar funciones simples, pero al componer una función es necesario aplicar la regla de la cadena; la derivada de la función compuesta f°g es el producto de las derivadas de f y de g.

Ejemplo;

• Derivar la función:

Se puede ver entonces que F es una función compuesta;

 

es decir     , de esta forma se pueden aplicar las reglas de derivación y derivar cada una de las partes.

Entonces la regla de la cadena es:

La derivada de la función

•   es:

Sabiendo que:   

    y   




Al aplicar la regla de la cadena se trabaja de la parte exterior de la función hacía adentro.




 

Funciones

Definición de función

Relación entre un conjunto dado X (dominio) y otro conjunto de elementos Y ( codominio) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido o rango).

Tipos de funciones

Función constante
 
Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.Ejemplo:f(x) = 2x − 1 es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica es una recta ascendente.

Función polinómica

Una función f es una función polinómica si, f(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0donde a0, a1,...,an son números reales y los exponentes son enteros positivos.Ejemplo:f(x) = x^2 − 2x − 3

Función cuadrática
Una función de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Función racional
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:para los polinomios f(x) y g(x).

Función de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.Las funciones f(x) = x^4/3 y h(x) = 5x^3/2 son funciones de potencia

Dominio y recorrido de una función

El dominio de una función está formado por aquellos valores de x (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

 El recorrido (rango) de una función es el conjunto formado por las imágenes, es decir, los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que se le da a "x".

Cálculo del dominio y recorrido

Polinómicas: 

El dominio de una función polinómica son todos los números reales. Se expresa como Dom f(x)= ℜ. El dominio también se puede expresar así: Dom f(x)= (- ∞, + ∞) Son funciones polinómicas las rectas, las funciones cuadráticas (parábolas) y las funciones polinómicas de grado superior. 

Ejemplo:
Dom f(x)=ℜ
Rec f(x)=ℜ

 

Racionales:

El dominio de una función racional son todos los valores de x, excepto aquellos que anulan el denominador.
Se expresa así: Dom f(x) = ℜ - { valores que anulan el denominador}

Para calcular el dominio, se iguala el denominador a cero y se recuelve la ecuación resultante. Si la ecuación se anula para algún valor, el dominio de la función son todos los números reales menos esos valores. Si la ecuación no tiene solución el dominio son todos los números reales.

Ejemplo:
Como x=0 Dom f(x)=ℜ - {0}
Rec f(x)=

Irracionales

El dominio depende del índice de la raiz.

Índice impar: Don f(x) = ℜ
Índice par: √P(x) ⇒ P(x) ≥ 0 ⇒ radicando ≥ 0 

Ejemplo:f(x)=
Dom f(x)=
resolviendo la desigualdad (x+1)(x-1)0
Dom f(x)=
Rec f(x)=

Logarítmicas

El valor del logaritmo debe ser > 0.
No existen los logaritmos de los números negativos ni el de cero.
Se resuelven igual que las irracionales pero en vez de usar ≥ 0 se usa > 0

Ejemplo: f(x)=L(x+2)
Dom f(x)= x+2>0Dom f(x)=
Rec f(x)=ℜ



Ejercicios resueltos:

Composición de funciones

La composición consiste en sustituir una de las funciones dentro de otra, osea esta compuesta de otra función.
Para denotar las composiciones se pone el símbolo "o".
Ejemplo: (foh)(x) <--- esto significa que la función de f(x) esta compuesta por h(x). Para hacer las composiciones se sustituye de derecha a izquierda, se hacen las operaciones indicadas y se simplifica para obtener los resultados.

Ejemplos: f(x)= 3x-2 , g(x)= x2+3x , h(x)=√(x+2) , k(x)= 3/x-1

1.- (fog)(x)= 3(x2+3x)-2
=3x2+9x-2
R=3x2+9x-2

2.- (gof)(x)= (3x-2)2 + 3(3x-2)
= 9x2-12x +4 + 9x -6 (se simplifica en términos iguales)
=9x2 -3x -2
R=9x2 -3x -2

3.- (hok)(x)= √(3/(x-1 )-2
R= √(3/(x-1 )-2 (ya no se puede simplificar mas, éste es el resultado)

Transformaciones en el plano 

Movimientos verticales y horizontales

Sea c>0

1. f(x)+c, se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia arriba

2. f(x)-c, se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia abajo

3. f(x+c), se desplaza la gráfica de f(x) una distacia de c unidades hacia la izquierda

4. f(x+c),se desplaza la gráfica de f(x)una distacia de c unidades haciala derecha

Ejemplo:

Ejercicios resueltos
1) y = f(x) - 3y = f(x) - 3 = 4 - x2 - 3 = 1 - x2

La función resultante traslada verticalmente hacia abajo a la función f(x) = 4 - x2 tres unidades:

 4) y = f(x + 2)

y = f(x + 2) = 4 - (x + 2)2 = 4 - (x2 + 4x + 4) = - 4x - x2

La función resultante traslada horizontalmente hacia la izquierda a la función f(x) = 4 - x2 dos unidades:

 Reflexiones 

1.-f(x), refleje la gráfica de f(x) respecto al eje x
2. f(-x), refleje la gráfica de f(x) respecjo al ej y

Ejemplo:

: